[条件付き確率の問題] 検査薬で病気と診断された人が本当に病気の確率。

[問題] ある国では、国民の99%が正常、1%が病気である。検査薬の精度は、正常な人を1%で病気だと誤診し、病気の人を99%の精度で病気だと診断する。もし、ある人がこの検査薬で病気だと診断された場合、この人が本当に病気の確率はいくらか。



わりと有名な問題。答えは1/2。意外と多いのは、正常な人が多すぎるから。

正常:病気=99:1
正常→1% 病気
病気→99%で病気

病気 : P (Pathologie)
正常: N (Normal)
病気と診断される: D (Diagnose)
と略記すると, 病気と診断された条件で本当に病気である確率 P(P|D) は

P(P|D) = P(P∩D)/P(D)
= P(D|P)P(P)/P(D)
= P(D|P)P(P)/(P(D|P)P(P)+P(D|N)P(N))
= 0.99*0.01/(0.99*0.01+0.01+0.99)
= 99/(99+99)
= 1/2

別解
国民を10000人とする
正常9900 病気100
正常のうち9900*0.01人は病気だと診断される
病気のうち1*99人は病気だと診断される
病気だと診断される人は合わせて9900*0.01+100*0.99
P(病気|病気だと診断される)=P(病気∩病気だと診断される)/P(病気だと診断される)
=100*0.99/(9900*0.01+100*0.99)
=1/2

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